안녕하세요. 한장의 그림으로 수학의 개념을 이해하는 한장수학,
오늘은 지난 시간에 이어 계속해서 부분집합에 대해서 알아보겠습니다.
제목은 '충분조건, 필요조건'인데 왜 부분집합을 얘기하는지 궁금하시죠?
네, 실은 필요조건과 충분조건은 사실 부분집합을 따지는데 쓰는 개념이기 때문입니다.
작은 집합 두 개가 있을 때 둘 중에 어떤 것이 어떤 것의 부분집합인지를 알기는 어렵지 않습니다.
이런 경우 말이죠. 이 경우에 왼쪽 집합에 있는 원소들이 모두 오른쪽 집합에 있으니
왼쪽 집합은 오른쪽 집합의 부분집합니다.
그런데 원소가 아주 많은 집합은 어떨까요. 가령 이런 집합말이죠.
하나는 '인간종'의 집합이고 하나는 '포유류'의 집합입니다.
인간 집합이 포유류 집합의 부분집합인가요? 아니면 포유류 집합이 인간 집합의 부분집합인가요?
아마 이 문제를 어려워하시는 분들은 별로 없을 겁니다. 사람종의 집합이 포유류 집합의 부분집합이죠?
당연한 사실이지만 이 결과를 떠올리는 동안 여러분의 머리속에서는 복잡한 계산이 벌어졌을 겁니다. 아마 이런 생각들이죠.
포유류이면 인간인가? 인간이면 포유류인가?
여기서 '이면'을 화살표로 그리면 이렇게 되겠죠?
사람종 ============> 포유류
사람종 <============ 포유류
이 문장을 좀 더 정확히 쓰면 이렇게 될 겁니다.
[ ]는 사람종이다. =======그러면========> [ ]는 포유류일까?
아니면 그 반대일까?
여러분은 상상으로 이 네모칸에 동물들을 하나씩 넣어봤을 겁니다.
그렇게 해서 문장이 참이되게 하면, 문장이 맞는 말이 되게 하면 통과를 하게 되고, 통과한 동물들을 아래 집합에 집어넣는 겁니다.
철수라는 친구는 왼쪽 문장도 왼쪽 문장도 참이 되게 하고 오른쪽 문장도 참이 되게 해서 양쪽 집합에 다 들어가게 되는 거죠.
그런데 뱀을 집어넣는다면 왼쪽도 통과 못하고 오른쪽도 통과 못하게 되죠.
이번엔 원숭이를 집어 넣는다면 왼쪽은 통과 못하는데 오른쪽은 통과하게 됩니다.
자, 여러분은 이런 식으로 양쪽 집합을 채우면서 어떤 차이가 생기는 걸 알 수 있었을 겁니다.
왼쪽 인간 집합은 오른쪽 포유류 집합에 들어갈 수 있지만,
오른쪽 포유류 집합은 왼쪽 인간 집합에 들어가지 못한다는 것을 알 수 있죠.
정확히 얘기하면 들어가지 못하는 원소, 이를 테면 원숭이 같은 것들이 있다는 얘깁니다.
그래서 포유류 이면 사람이다, 는 틀린 말이지만. 항상 맞는 말은 아니라는 얘깁니다.
반면 사람이면 포유류이다, 는 맞는 말, 항상 맞는 말이되는 겁니다.
다시 얘기하면 사람종의 집합보다 포유류 집합이 더 크구나,
사람종의 집합이 포유류 집합에 포함되는 구나, 부분집합이구나 라는 것을 알 수 있는 거죠.
이런 복잡한 계산이 여러분 머리속에서 벌어진 겁니다. 어떤가요? 대단하죠?
여기서 잠깐 용어를 정리하죠.
수학에서는 네모칸 대신 우아하게 x라는 문자를 쓴다는 것 아시죠?
그리고 이렇게 x라는 빈칸을 품고 있어서 그 안에 무엇을 넣느냐에 따라서 맞는지, 틀리는지를 알 수 있게 된 문장을 보고 '조건'이라고 합니다.
x를 품고 있는 조건은 이렇게 p(x), q(x)로 표시합니다. p나 q가 아닌 다른 문자를 써도 됩니다.
반면 어떤 특정한 대상이 들어가 있어서 바로 참인지 거짓인지 알 수 있는 것은 명제라고 합니다.
그리고 조건 p(x), q(x)를 만족시키는, 다시 얘기하면 p(x), q(x)의 조건을 통과한,
참이되게 하는 원소들을 모아놓은 것을 보고 '진리 집합'이라고 합니다.
조건 p(x)를 참이되게 한 집합은 대문자를 써서 집합 P라고 하고요.
조건 q(x)를 참이 되게 한 집합은 집합 Q라고 합니다.
자, 이제 마지막으로 충분조건, 필요조건에 대해서 알아보겠습니다.
다른 예로 취직 과정을 생각해 봅시다.
지원자 집합이 있고, 합격자 집합이 있겠죠? 둘 중에 어떤 것이 부분집합일까?
이때 합격자이면 지원자인가요? 네 맞습니다.
반대로 지원자이면 합격자인가요? 아니죠. 지원자 중에서 떨어진 사람도 있겠죠? 항상 그런 건 아니어서 틀린 얘깁니다.
그래서 합격자이면 지원자이다가 맞는 얘깁니다.
다시 얘기하면 합격자 집합은 지원자 집합의 부분집합이란 얘깁니다.
이때 조건을 보죠.
이때 합격자는 지원자가 되기에 충분하죠? 부분집합이니까요. 그래서 합격조건을 충분조건이라고 합니다.
반대로 지원자는 합격자가 되기위해 충분하지는 않지만 적어도 최소한 기본으로 지원자는 되야하잖아요.
그래서 이렇게 기본으로 필요한 조건이기 때문에 필요조건이라고 합니다.
필요조건과 충분조건의 뜻을 잘 아시겠어요?
정리를 하면
두 집합 P와 Q가 있는데 P가 Q의 부분집합이라면,
그래서 조건 p(x)이면 조건 q(x)가 성립하면,
집합 P를 만드는 조건 p(x)는 충분조건, 집합 Q를 만드는 조건 q(x)는 필요조건이란 얘깁니다.
반대로 p(x)이면 q(x)이다가 참이라면, 즉 p(x)가 충분조건, q(x)가 필요조건이라면,
그 조건을 토대로 만든 집합 P는 집합 Q의 부분집합이 된다는 얘깁니다.
이것으로 필요조건, 충분조건에 대해 알아봤습니다. 수고하셨습니다.
