안녕하세요. 한장수학, 오늘은 함수에 대해서 알아보겠습니다.
함수란 아주 간단하게 얘기하면 두 집합에 속한 원소들을 이렇게 만나게 해주는 겁니다.
그러나 이 모든 방식을 함수라고 하는 건 아닙니다.
여기 상황을 하나 생각해 보죠.
여러분 집에 친구들이 놀러온다고 합니다. 모두 여섯 명이 오는데요.
여러분은 이 친구들에게 선물을 주고 싶어요.
그래서 각자 뽑은 번호표를 보고 1등, 2등, 3등을 정했습니다.
재미로 꽝도 만들어 놓았는데 다행히 꽝은 나오지 않았다고 칩시다.
3등은 세 명이나 되죠. 2등도 두 명이나 되고요.
그러나 각 사람의 입장에서보면 모두 하나씩 빠짐없이 선물을 받게 되죠.
하지만 한 사람이 1등도 하고 3등도 하면서 선물을 두개 받는 경우는 없는 겁니다.
이렇게 x집합의 각각의 원소들이 y집합의 원소와 하나씩 만나도록, 수학에서는 대응하도록 한 것이 함수입니다.
중요한 것은 x집합의 여러 원소가 집합 y의 어떤 원소와 겹쳐서 만나도 상관이 없다는 겁니다. 함수라는 거죠.
여기 2등과 3등에 여러 x집합의 사람들이 중복된 것처럼요.
반면 이렇게 x에서 하나가 문어발로 다른 걸 독차지하거나,
선물을 받지 못하는 사람이 생기면, 즉 짝을 찾기 못하는 원소가 생기면 그건 함수라고 하지 않습니다.
궁금하시죠?
왜 수학에서는 유독 이런 식의 짝짓기를 '함수'라고 하고 관심을 갖는 걸까요?
그 이유는 이렇게 생각하면 이해하시기가 쉽습니다.
x가 원인이고 y가 결과라고 생각해보죠.
우리가 수학이나 과학을 하는 이유 중에 하나는 정확히 어떤 결과를 예측하기 위해서죠.
그런데 어떤 원인이 있을 때 결과가 이럴 수도 있고 저럴 수도 있다고 얘기하면 거의 도움이 되지 않죠.
그리고 결과가 없어. 그래도 도움이 되지 않죠.
어떤 원인이라도 반드시 하나의 분명한 결과가 오는 상황들을 함수라고 부르면서 수학에서 관심을 갖게 되는 겁니다.
결과가 겹치더라도 말이죠.
하지만 유념할 게 있습니다. 이 경우를 보죠
이 경우 x를 원인으로 생각하면 함수가 아니죠.
두번째 원소가 다른 세 가지 결과를 짝으로 삼고 있는 데다가, 아래 원소들은 짝이 없으니까요.
하지만 거꾸로 y를 원인으로 생각하면 함수가 되잖아요.
그래서 엄밀히 말하면 어디가 원인에 해당하는지 말해줘야 합니다.
수학에서는 이를 화살표로 표현합니다.
아까의 경우로 돌아가면 이렇게 말이죠.
이 경우 x가 원인이고, y가 결과에 해당합니다.
그리고 'x에서 y로의 함수' 라고 읽습니다.
자, 이렇게 x와 y를 만나게 하는 기능이 있기 때문에 이 함수를 function의 앞자를 따서 f라고 합니다.
또 x에서 y로의 함수에서 '원인'에 해당하는 x의 집합을 '정의역'이라고 합니다.
'결과'에 해당하는 y의 집합을 '공역'이라고 하고요.
그리고 공역 중에서 다시 얘기하면 집합 y의 원소 중에서 x의 원소와 짝을 이룬 원소들,
이걸 다른 식으로 얘길하면 집합 x가 함수 f를 통과하면서 나온 y값,
가치, 값어치들의 모아놓은 부분집합을 치역이라고 합니다.
자, 앞서 상황을 좀 더 생각해 보죠.
1, 2, 3등은 정해졌어요. 그럼 각각의 등수에 배당한 선물을 전달해야겠죠.
1등은 과자를, 2등은 노트를, 3등은 연필을 받았습니다.
그리고 여러분은 착한 사람들이라 사실 꽝에도 사탕을 준비해 놨다고 하죠.
이렇게 하면 이것도 함수가 됩니다. 정확히는 y에서 z로의 함수가 됩니다. (g : y -> z)
앞에 f와 구별해서 함수 g라고 합시다.
함수 g에서는 앞서 함수 f에서 공역이었던 집합 y는 정의역이 되는거죠.
그리고 z에 새로운 공역과 치역이 생깁니다.
함수 중에서 이렇게 원인이 다르면 결과가 다르게 되는 함수,
즉 원인과 결과가 하나씩 만나게 되는 함수를 보고 일대일 함수라고 합니다.
그리고 그중에서도 치역과 공역이 일치하는 것. 즉 공역에서 짝을 찾지 못한 원소가 없는 경우.
우리는 그걸보고 일대일 대응이라고 합니다.
자, 이렇게 두개 이상의 함수가 중복해서 이어진 것을 보고 합성함수라고 합니다.
이 과정을 다시 살펴보면 함수 f( )에 x를 집어넣어서 f(x)를 얻었죠.
이 f(x)가 바로 y인 것이죠.
우리가 지금 상상을 한 것은 추첨을 하는 거지만,
수학에서는 다양한 수식을 통해서 x와 y를 만나게 합니다.
이 f(x)를 다시 함수 g( )에 집어넣어서 z를 얻은 것이 이것이죠.
이것이 바로 z가 되는 겁니다.
괄호가 너무 많아서 복잡해 보이죠? 그럴때는 가장 안쪽의 괄호만 남기고 함수는 고리로 이어놓습니다.
이렇게요. g.f(x) = z
그러니까 이런 기호를 보면 아 어떤 함수를 먼저 통과시킨 건지 알 수가 있죠.
함수 f를 먼저 통과시키고 g를 나중에 통과 시킨 거라는 걸 알수 있죠.
자, 이렇게 오늘은 합성함수까지 했습니다. 오늘은 이것으로 마치겠습니다.
