수열의 극한 02 - oo-oo, oo/oo꼴의 극한값 구하기

 

 

 

 

오늘은 수열의 극한에 이어 발산하는 수열들의 빼기와 나누기의 극한값 구하기를 해보겠습니다. 

수열의 극한에서는 이런 극한값표를 만들었죠. 그 중에서 극한값을 따지기 어려운 경우가 바로 이 두가지였죠? 

 

 

 

 

이 문제들의 해법을 아주 단순하게 얘기하면 

발산하는 수열들의 빼기와 나누기 꼴을 다른 꼴 즉, 수렴인지 발산인지를 쉽게 알 수 있는 나머지 형태로 바꿔주면 됩니다. 어떻게 그렇게 만들 수 있을까요? 가장 중요한 열쇠는 바로 이겁니다. (1/n) 

 

 

 

 

n이 무한대로 커지면 1/n은 0이 되죠? 바로 이런 꼴로 만들어주면서 n과 불필요한 부분들을 없애주는 겁니다. 자 예제를 하나씩 풀면서 보도록 하죠. 

 

 

 

 

 

이식을 보죠. 이 식은 우선 분자 분모 수열의 극한값을 각각 따져보면 위아래 모두 무한대로 갑니다. 

이걸보고 1이라고 할 수 없다고 했죠. 

 

 

 

 

그래서 다시 원점으로 돌아와서 위 아래 모두 1/n으로 곱합니다. 그러면 이렇게 되고 여기서 n이 무한대로 가면 1/n은 0이 되면서 남는 것은 1/3이 됩니다. 이게 이 수열의 극한값이 되는 거죠. 

이렇게 1/n을 곱해서 무한대 나누기 무한대 꼴을 수렴하는 수열의 나누기 꼴로 바꿨습니다.  

 

 

 

 

 

 

다른 문제를 봅시다. 

 

 

 

 

이 식도 분자 분모의 극한값을 각각 따져보면 oo/oo꼴이죠? 

그래서 원래식으로 돌아와 이번에도 1/n으로 곱해주겠습니다. 그러면 

이렇게 (Lim (1+2/n) / (n+1/n))되는 거죠. 여기서 n이 무한대로 가면 2/n, 1/n은  0으로 가니까. 

이 식은 1/n만 남네요 되네요. 여기서 n이 무한대로 가면 이건 어떤게 되나요? 0이 되겠죠? 

 

 

 

 

이번에는 무한대 나누기 무한대 꼴을 상수를 발산하는 수열로 나눈 꼴로 바꾼 거죠? 

 

 

 

 

자 다른 문제입니다. 

 

 

 

 

이 식의 의 극한값을 구해봅시다. 이것 역시 위 아래를 각각 극한값을 구하면 위 아래 모두 무한대로 갑니다. 그래서 각각 위 아래 1/n을 곱해보면 이렇게 되고, (n^2 + 2n - 4/n / 2n + 1/n) 여기서 n이 무한대로 간다면 n^2+2n / 2n 이 남네요. 여전히 위 아래 무한대로 가죠. 그래서 다시 한 번 위 아래를 1/n으로 곱해보겠습니다. 

그러면 n + 2 / 2 가 되죠. 이제는 어떤가요? 무한대 나누기 상수 꼴이 되었죠? 이 결과는 oo죠? 

자 우리는 여기서 1/n을 한번 곱했다가 안 되서 또 1/n을 곱했지만 처음부터 1/n^2을 곱했더라면 좋았겠죠? 그래서 교과서에서는 분모의 n을 먼저 없앨 수 있도록 분모의 최고차항으로 나누라고 하는 겁니다. 무슨 공식처럼 얘기하는데 실은 굳이 외우지 않아도 되는 거죠. 

 

 

 

 

조금 더 눈치가 빠른 학생들은 oo/oo 꼴은 계산을 굳이 하지 않아도 극한값을 구할 수 있다는 걸 알았을 겁니다. 바로 분자 분모의 최고차항에 따라 모든 게 결정난다는 것을 알 수 있습니다. 

즉 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으면 극한값이 oo로 발산하고, 

반대면 0으로 수렴하고, 차수가 같으면 최고차항의 계수만 남겨놓으면 되는 거죠. 

 

 

 

 

이번에는 oo-oo꼴의 극한값을 따져보겠습니다. 이 식을 봅시다. 

 

 

 

 

이건 이렇게 놓고 각각 무한대로 보내보면 oo-oo꼴입니다. 이건 섣불리 0이라고 할 수 없다고 했죠. 

그래서 안에다 1/n^2를 곱해보죠. 난데 없이 1/n^2를 곱하면 안되니까. 밖에다가는 n^2를 곱해놓겠습니다. 

사실 이렇게 보면 최고차항을 밖으로 뽑아낸 것과 같네요. 

여기서 n이 무한대로 가면 어떻게 되나요? 

괄호 안의 3/n, 2/n^2는 0이 되고 남는 것은 1이죠. 이건 무한대 곱하기 수렴하는 수열의 꼴입니다. 

뭐가 되나요? Oo 대가 되는 거죠. 

 

 

 

 

이번에는 이런 식을 풀어보겠습니다. 무리식이죠. 

 

 

 

 

이 식도 루트가 있지만 Oo-oo이죠? 이번에도 안에 1/n이 들어가게 1/root n을 곱해볼까요? 

물론 밖에는 root n을 곱해줘야죠. 그러면 이 식은 이런 (Root n ( root (1+1/n) - root 1) = oo x 0)꼴이 됩니다. 

무한대 곱하기 0. 이건 어떻게 될까요? 이건 0일까요? 아닙니다. 

이때 중요한 것은 뒤에 곱하는 수를 0이라고 써놨지만 딱 떨어지는 상수 0이 아니라,

1/n이 0으로 가면서 생긴, 무한대처럼 0으로 계속 작아지는 상태를 말하는 겁니다.  

 

 

 

 

그림으로 치면 이렇습니다. 

하나는 무한히 커지고 있고, 거기에 무한히 작아지는 수를 곱하는 거죠. 

사실 누가 얼마나 빨리 커지는지 작아지는지에 따라 이 곱하기의 결과는 달라지게 되는 거죠. 

이런 꼴은 처음본다고요? 네 그렇긴 한데요. 

우린 비슷한 꼴을 보긴 했습니다. 바로 oo/oo꼴이죠? 

이것도 곱하기로 치면 oo x 1/oo 이고 여기서 1/oo가 0이 되는 거잖아요. 

즉 oo/oo은 oox0과 같은 셈입니다. 똑같이 그 결과를 알 수 없는 거죠. 

 

 

 

 

그럼 다시 원래 식으로 돌아가서 이 식은 어떻게 풀면 좋을까요? 그 방법은 유리화를 시켜주는 겁니다. 

이 식에 가운데 부호만 바꾼 걸 곱해주고 

느닷없이 곱해주면 안되니까 똑같은 걸 나눠주는 겁니다.  

그러면 이 식은 이렇게 될 겁니다. 

이제 상수 나누기 무한대  꼴이 되었네요. 그래서 당연히 0으로 갑니다. 

 

 

 

 

이런 이유로 무리식이 있는 경우에는 유리화를 한다고 교과서에서 공식처럼 얘기하는 겁니다. 

마치기 전에 이 극한값 표를 이용하는 문제를 두 가지 더 풀어보겠습니다. 

 

 

 

 

이게 참일까요? 거짓일까요? 

bn-an의 극한값이 0으로 수렴을 했다는 얘기는 각각을 수렴시킨 limbn - liman도 0이라는 얘기고 그러니 둘은 같은 수로 수렴을 한다는 얘기죠. 그 수를 알파라고 한다면, 

An과 bn 사이에 끼어있는 cn 역시 같은 수 알파로 수렴을 하겠죠? 

그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 극한값표를 보면서 설명하겠습니다. 

 

 

 

 

이 표에서 수열과 수열의 빼기 형식은  모두 세 가지죠. 수렴하는 수열끼리의 빼기,  발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기, 그리고 발산하는 수열끼리의 빼기. 

이 중에서 극한값이 0이 나올 수 있는 것은 뭘까요? 발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기는 무한대로의 발산이 나오기 때문에 아닙니다. 

빼기가 0이 나올 수 있는 경우의 후보는 이 두 가지입니다. 수렴하는 수열끼리의 빼기가 0이 나올 수 있고, 발산하는 수열 끼리의 빼기도 경우에 따라서는, 매번 그런 것은 아니지만 0이 되기도 합니다. 아까 우리는 그런 문제를 다뤘죠. 

 

 

 

 

여기서 우리는 알 수 있죠. 빼기의 극한값이 0이 나왔다고 해서 꼭 an과 bn이 각각 수렴을 한다고 할 수 없다는 거구나. 따라서 cn도 수렴한다고 말 할 수 없는 거구나. 

이 문제에서 루트 n+1과 루트 n을 각각 bn과 an이라고 합시다. An<bn 이죠. 여기에 cn을 루트 n+1/2라고 하면 an<cn<bn이 되죠. 그러나 이때 cn은 역시 무한대로 발산하죠. 따라서 항상  cn이 수렴하는 것은 아니니, 이 말은 거짓입니다. 

 

 

 

 

하나만 더 보겠습니다. 

 

 

 

 

자, 이건 맞는 말일까요? 틀린 말일까요? 

 

우선 an^2이라는 것은 an을 두번 곱한 거고, 각각의 수열을 따로 극한값을 구한게 알파의 제곱이라는 거죠.

표에서 곱하기 꼴은 세 가지죠. 그 중에서 발산하는 수열이 들어가면 그 곱이 무한대로의 발산이 되니까, 특정한 값이 나올 수 있는 것은 수렴하는 수열과 수렴하는 수열의 곱입니다. 그렇다면 an과 bn은 수렴하는 수열이라는 얘기네요. 

 

그러나 우리가 이 표를 다룰 때 잊지 말아야 할 것이 있습니다. 바로 표에 포함되지 않은 이 아래 ‘진동’입니다. 여러분 마음 속에 진동의 대표적인 경우 하나를 마련해 놓으세요. 이런 거 말이죠. an이 이렇다고 해봅시다. 

그러면 an곱하기 an은 항상 1이 됩니다. 그래서 여기서 극한을 구해도 항상 1^2이 되는 거죠. 그러나 an 자체는 수렴을 하지 않습니다. 진동이죠. 이런 예가 있기 때문에 이 문장은 틀린 말입니다. 

 

 

 

 

오늘은 좀 길었네요. 

오늘은 oo/oo oo-oo의 극한값을 구하는 문제와 함께 나머지 극한값표를 활용한 문제풀이를 해봤습니다. 정리하자면  다른 극한값을 알기 쉬운 형태로 고치기 위해서 보통은 1/n을 사용하면 되는데, oo/oo꼴은 분자, 분모 최고차항의 차수를 비교하고, oo-oo이 무리식으로 되어 있는 경우에는 유리화시키면 됩니다. 

그리고 극한의 성질을 묻는 문제에서는 이 극한값표를 활용해 다양한 경우를 따져보면 됩니다. 진동을 고려하는 것도 잊지 말자구요. 자 오늘은 여기까지 하겠습니다. 수고하셨습니다. 

 

 

==========================

 

한장수학은 '수학 여행 지도 Math Travel Map'에 따라 만들고 있습니다. 

2015년 10월 2일 현재 텀블벅에서 제작, 자문 후원을 받고 있어요. 

후원을 해주시는 분들께는 지도를 보내드리려고 합니다. 

관심 있는 분들의 많은 후원 바랍니다. 

후원은 요기~~ https://tumblbug.com/mathtravelmap