급수의 극한

 

 

 

오늘은 급수의 극한에 대해 알아보겠습니다. 

 

 

 

 

 

급수란 뭘까요? 우선 여러분이 알고 있는 Sn에서 시작하죠. 

Sn은 n항까지 수열의 합이라는 거죠. 

 

급수란 이 수열의 합을 무한대까지 더한 것을 말합니다. 

간단하게는 이렇게도 쓰죠. 그러니까 이 세가지는 모두 급수를 가리킵니다. 

이것과 구별해 Sn은 부분합이라고 합니다. 

 

 

 

 

급수가 어떤 수에 수렴을 하면 즉 limSn=S일 때 이 급수는 S에 수렴한다, 고 하고 

이때 S를 급수의 합이라고 합니다. 

 

급수가 수렴한기 위해선 어떤 조건이 필요할까요? 

급수라는 것은 일반항을 차례로 더한것이니, 급수의 합이 더 커지지 않고 어떤 수로 고정되려면, 

An은 0에 수렴을 해야할 겁니다. 여기서 급수의 극한에서 가장 중요한 명제가 나옵니다. 

Sn이 수렴을 한다면 An은 0에 수렴한다는 겁니다.  

그러나 그렇다고 0에 수렴하는 an의 급수가 모두 수렴하는 것은 아닙니다. 

 

 

 

 

가장 쉬운 예를 하나 볼까요? 

2/n은 n이 무한대로 가면 0으로 갑니다. 하지만 그 합을 볼까요? 

이걸 계산하는 것은 어렵습니다. 

 

 

 

 

하지만 이것과 비교를 해보죠. 

이것은 이렇게 묶으면 모두 1이 되고 이를 한없이 반복하면 결국엔 무한대가 될 겁니다. 

그런데 이 식의 개별 항들을 비교해 보면 모두 위의 식보다 작죠? 

결국 그 합도 아래보다 위가 더 클 겁니다. 무한대보다 큰 무한대이니 답은 무한대인 거죠. 

 

 

 

 

즉 0으로 수렴하는 An가운데 일부만 Sn이 수렴을 한다는 얘기죠. 

이 얘기는 거짓입니다. 

 

반면 이 명제의 대우 

An이 0에 수렴하지 않으면 Sn이 수렴을 하지 않는다는 건 맞는 얘깁니다. 

 

오늘은 이렇게 급수의 극한을 배워봤습니다. 

 

수고많으셨습니다.