수열의 극한 03 - 등비수열의 극한

 

 

 

 

 

수열의 극한 세번째, 오늘은 등비수열의 극한에 대해서 알아보겠습니다. 

어떤 분들은 의문을 가지실 수도 있겠네요. 수열의 극한을 배웠으면 됐지 왜 또 등비수열의 극한을 따로 배우느냐고요. 네 맞는 얘깁니다. 여기까지 오신 분들은 수열의 극한값을 다루는 기본은 다 배운 셈입니다. 

앞서 배운 수열의 극한표를 다시 보겠습니다. 등비수열의 극한은 이 극한표의 제일 앞부분에 해당하는 이 부분입니다. 

 

 

 

 

등비수열은 일정한 수를 곱해서 나아가는 수열이죠. 일반항은 이렇게 됩니다. 다들 기억하시죠

 

 

 

 

여기서 a값과 r의 값을 나눠서 어떤 것이 수렴을 하고 발산을 하는지를 알아보겠습니다. 

우선 a가 0이라면 이 수열은 계속해서 0만 이어지는 수열이 되겠죠. 따라서 a=0일 때는 이 수열은 0으로 수렴합니다. 

 

 

 

 

a가 0이 아니라면 이제 이 수열의 극한은 오로지 r에 달려 있습니다. 이제 r값을 바꿔보면서 어떨 때 수렴하는지 알아보죠. 계산을 편하게 하기 위해서 a는 1로 놓겠습니다. 

 

r=0이라면 어떨까요? 그러면 이것도 모든 수열이 0이 되고, 다시 얘기하면 0에 수렴하는 게 되겠죠. 

여기서 r이 점점 커지면 어떨까요? 만약에 0.1이라면? 이렇게 되겠죠. 갈수록 0에 수렴합니다. 

 

 

 

 

r이 0.2일때는 이렇게 되고 0.3일때는 또 이렇죠. (0.4 / 0.5 / 0.6 / 0.7 / 0.8 / 0.9)

 

 

 

 

이러다가 r이 1이되면 이렇게 항상 똑같이 됩니다. 즉 수렴을 하는 거죠. 

 

 

 

 

r이 1보다 커지면 어떨까요? 1.1이라면? 이렇게 점점 커지는, 다시 얘기하면 발산이 되는 거죠. 

r이 1.2일 때도, 1.3일 때도 마찬가지입니다. 모두 점점 발산을 하게 됩니다. 그 이후는 안 봐도 되겠죠? 

 

 

 

 

다시 뒤로 가서 r이 0보다 작을 때를 생각해 보겠습니다. 여긴 잘 보셔야 합니다. 

R=-0.1이라면 이렇게 되죠. 즉 지그재그로 가지만 결국은 0으로 모입니다. 즉 수렴하는 거죠. 

-0.2라면? 이렇게 되겠죠? 줄어드는 빠르기가 더 빨라지는 거죠. 

-0.3 / -0.4 / -0.5를 보면 이걸 확인할 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

이러다가 r=-1이라면? 이건 진동이죠. 진동도 발산입니다. 

 

 

 

 

R=-1보다 커지면 어떻게 되는지 보겠습니다. 

-1.1이라면 이렇게 진동을 하면서 점점 벌어지는, 즉 발산을 하는 거죠. 

-1.2라면 더 급격히 벌어지겠죠? 

-1.3이라면 그 차이가 더 커질 겁니다. 모두 발산입니다. 

 

 

 

 

 

자, 그래서 정리를 하면 이렇게 됩니다. 

r이 1보다 크면 발산, 

-1 < r <=1 이면 수렴, 특별히 -1< r<1이면 0으로 수렴합니다. 

그리고 나머지는 모두 발산입니다. 특히 r=-1이면 진동입니다. 

 

 

 

 

아까 수열표로 다시 돌아가보죠. 우리는 등비수열에서 어떤 것이 수렴하고 어떤 것이 수렴하지 않는지를 배웠습니다. 이제 이것을 어디에 어떻게 적용하는지를, 문제를 풀면서 생각해보도록 하죠. 

 

 

 

 

일단 위 아래 모두 r^n이라는 등비수열 꼴을 포함하고 있습니다. 

위에는 r이 5 아래는 5도 있고 3도 있네요. 모두 1보다 크기 때문에 각각 극한값을 구하면 모두 무한대로 갑니다. 

이것은 앞서 배운 무한대 나누기 무한대의 꼴이죠. 전에 배운대로 한다면 분모의 최고차 항으로 나누면 되는데 여기는 5^n의 꼴이라 n으로 나눠도 문제가 해결이 되지 않습니다. 

그러나 우리는 n이 무한대로 갔을 때 0이 되는 또 한가지의 방법을 알았습니다. 

그게 뭐죠? r의 절대값이 1보다 작은 등비수열의 꼴로 만들어주는 거죠. 

 

그럼 이 식에선 어떻게 해야할까요?

네 5^n으로 분자 분모를 나누는 겁니다.  

3의 n승도 있는데 왜 하필 5^n일까요? 그건 그렇게 해야 절대값이 1보다 작은 공비 r이 만들어 지는 거죠. 

보시죠 이렇게 분자분모를 나누면 이렇게 되겠죠. 

원래 5^n이 있던 곳은 없어지고. 2/5^n은 분모가 무한히 커지는 거니 0으로 가겠고, 

분모의 3^n이 (3/5)^n이 되죠. 3/5^n은 등비수열 꼴인데 3/5는 절대값이 1보다 작으니 이 경우 극한값은 0에 수렴하겠죠. 

그래서 분모는 1이되고 분자는 5가 되네요. 답은 5죠. 

 

 

 

 

 

이제 우리는 무한대 나누기 무한대나 무한대 빼기 무한대의 경우 극한값을 구할 수 있는 방법을 하나 찾아낸 겁니다. 보통은 분모의 최고차항으로 나누면 됐지만, 등비수열의 꼴 다시말하면 지수식의 꼴에서는 가장 큰 지수식으로 나눠서 공비의 절대값이 1보다 작게 만들어주는 겁니다. 방법은 다르지만 모두 n을 무한대로 보냈을 때 0으로 만들 수 있는 도구를 이용하는 겁니다. 

 

 

 

 

고등학교 수학에서 극한값을 구하는 방식은 이제 다 배운 셈입니다. 

여기서 수열의 극한을 어렵게 만드는 것은 극한값을 구하는 방식이 어려운 게 아니라 

 

일반항으로 어떻게 표현되는지 몰라서 어려운 것이죠. 그것은 뒤에 이어지는 급수의 극한을 배운 뒤에 같이 문제들을 풀어보도록 하겠습니다.