수열의 극한

 

 

오늘은 수열의 극한에 대해서 배워보겠습니다. 

수열의 극한이란 어떤 수열 An이 계속 이어지면 앞으로 어떻게 될지를 미리 추측하는 거죠. 

이걸 수학에서는 이렇게 씁니다. (lim An) 

 

 

 

 

여기서 lim는 limit의 약자이고, n -> oo에서  

이 oo라는 기호는 무한대라고 읽습니다. N -> oo라고 쓰면 n이 무한대로 간다는, 그만큼 커진다는 얘깁니다. 

수열에서 가장 어렵고 핵심이 되는 개념이 바로 이 oo 기호인데요. 

이 oo 기호는 어떤 특정한 수가 아닙니다. 계속 커지고 있는 상태를 나타내는 것이죠. 

이 oo 기호 때문에 수열의 여러가지 특별한 상황이 생기는 데요. 그건 잠시 후에 알아보겠습니다. 

 

우선은 수열의 극한의 유형을 살펴보도록 하죠. 

앞서 예로 든 수열 An은 (An = 5 - 2/n)  이렇게 나가는 수열입니다. 

 

 

 

 

하지만 이 수열이 n이 엄청 커졌을 때 An이 어떻게 될지 알기 위해 일일이 다 점을 찍어볼 필요는 없죠.  

n이 아주 커지면 2/n 가 0이 되면서 남는 것은 5겠죠? 이렇게 n -> oo(n을 oo로) 로 보냈을 때 어떤 특정한 값이 나오면 그 값을 극한값, 혹은 극한이라고 하고, 이 수열 은 수렴한다고 합니다. 이 경우에는 5에 수렴하는 거죠. 

 

 

이렇게 부드러운 곡선으로 수렴하는 경우만이 아니라, 

이렇게 지그재그로 움직이지만 점차 어떤 값에 가까워지는 것도 수렴이라고 합니다. 

 

 

 

 

그리고 이렇게 상수항으로만 되어 있는 수열이라 뭐 보나마나 n이 무한대로 커졌을 때도 상수일 걸 분명히 알 수 있는 수열도 수렴한다고 합니다. 

 

 

 

 

이렇게 수렴하는 수열만 있다면 얼마나 좋을까요? 

우리는 수렴하지 않는 수열을 발산한다고 합니다. 

 

발산도 한가지 종류는 아닙니다. 우선 가장 대표적인 경우가 이런 경우입니다. 

이런 경우 An=n^2 는 An은 1, 4, 9, 16… 이렇게 나아가죠. 

이것도 굳이 계속 해보지 않아도 n이 점점 커지면, 이 수열 An도 무지 무지 커질 것이다라는 걸 알 수 있죠. 이 경우 수열 An의 극한은 양의 무한대로 발산한다고 합니다. 

 

 

 

 

반대로 음의 영역으로 떨어지는 수열을 음의 무한대로 발산한다고 합니다. An = 6 - n 

 

 

 

 

발산에서 또 잊지 말아야할 것이 있습니다. 

이렇게 왔다갔다 하는 수열도 발산, 특별히 진동 발산한다고 합니다. 

 

 

 

 

자 수열의 극한에는 모두 세가지 종류가 있다는 걸 알았습니다. 

수렴과 무한대로의 발산과 진동이죠. 

여기까지는 극한값을 따지는 것이 그다지 복잡하지 않습니다. 

그럼 여기서 더 나아가서 수열과 다른 상수나 다른 수열이 얽혀 있는 계산식의 극한값을 따져볼까요?   

 

먼저 수렴을 하는 An의 사칙연산을 보죠. An이 a로 수렴한다고 해봅시다. (LimAn=a) 

상수 c와 사칙연산을 해보죠. 

수열의 계산식의 극한을 구할 때 기본은 각각 따로 극한을 구한다, 입니다. 

여기서도 c는 나중에 생각하고 먼저 An의 극한값 a를 구한 뒤에 c와 계산을 하면 극한값을 구할 수가 있습니다. 물론 나눌 때 나누는 수가 0이 아닌지를 확인해야죠. 

 

 

 

 

수렴을 하는 수열끼리의 사칙연산도 마찬가지입니다. 

각각 An, Bn 두 수열이 a와 b로 수렴한다고 해봅시다. 

그럴 때 두 수열의 계산은 각각의 극한값을 따로 구하고 계산을 하면 됩니다. 

이때도 나눌 때만 분모에 들어가는 수가 0이 아닌지만 확인하면 됩니다. 

 

 

 

 

이번에는 발산하는 수열의 사칙연산을 볼까요? 

무한대로 발산하는 수열 An과 상수 c의 사칙연산을 보겠습니다. 

이 경우도 각각의 수열의 극한을 먼저 구하면 됩니다. 모든 경우 이렇게 나오겠죠? 

무한대 기호가 나온다고 긴장할 수 있는데요. 따져보면 그리 어렵지 않습니다. 

차례로 봅시다. 

 

 

 

 

먼저 더하기, 무한대로 발산하는 수열에 상수를 더하면 그건 어떻게 될까요? 

상상해 봅시다. An이 엄청나게 커지면 c는 있으나 마나한 것이되겠죠? 

네 결국 이 연산은 oo로 갑니다. 

빼기도 마찬가지겠죠? 무한대로 커지는 것에 상수 c를 뺀다고 해서 뭐가 달라지겠어요? 

반대로 c에서 무한대를 빼면 c의 흔적은 없고 -oo만 되겠죠. 

곱하기의 경우도 보죠. Oo란 무한히 커지고 있는 상태라고 했습니다. 

거기에 c를 곱하면 커지는 속도가 조금 더 빨라지는 것 뿐이겠죠. 역시 무한대입니다. 

c로 나누면 어떨까요? 늘어나는 속도가 조금 느려지긴 하겠지만 역시 늘어나는 상태, 즉 무한대입니다.  

물론 c를 oo로 나누면 얘기가 조금 달라집니다. 분모가 엄청 커진다는 거니까 즉 전체는 0이 되겠죠. 

아무튼 이 모든 경우 극한값이 어떻게 되는지 충분히 예측이 가능합니다. 

 

수렴하는 수열 Bn과의 사칙연산도 상수 c와 똑같습니다. 

다만 상수 c를 b로 바꿔준 것 뿐이죠. 

 

 

 

 

진짜 문제는 무한대로 발산하는 수열끼리 사칙연산을 할 때 생깁니다. 보시죠. 

먼저 더하기를 보죠. 무한대로 발산하는 수열 더하기 무한대로 발산하는 수열을 더하면 어떻게 될까요? 역시 무한대로 발산하겠죠. 

 

 

 

 

하지만 빼는 경우를 생각해 보죠. 무한대로 발산하는 상태 빼기 무한대로 발산하는 상태는 뭘까요? 

어떤 사람은 이거 0이 아니냐고 하겠지만 아닙니다. 왜죠? 

oo는 문자가 아니라고 했어요. 상태라고 했죠. 

 

 

 

 

앞의 무한대가 이렇게 빨리 커지는 무한대고, 뒤의 무한대가 이렇게 조금 늦게 커지는 무한대라면 

뺀다고 해서 0이 되지는 않겠죠? 그 결과는 언뜻 봐서는 잘 모르는 겁니다. 

잘 모르는 건 일단 붉은 색 표시를 해 둡시다. 

 

그 다음 곱하기를 보죠. 무한대로 발산하는 상태 곱하기 같은 상태는? 당연히 아주 빨리 무한대로 늘어나는 상태가 되겠죠? 역시 무한대입니다. 이건 뻔하죠. 

 

 

 

 

마지막 나누기를 해보겠습니다. 무한대로 발산하는 상태 나누기 무한대로 발산하는 상태는? 

이걸 1이라고 생각하는 분이 계실까요? 아니죠.

이 경우에도 무한대로 늘어나기는 하지만 어떤 것이 얼만큼의 빠르기로 늘어나는지 모르기 때문에 섣불리 1이라고 할 수는 없는 겁니다. 

 

 

 

 

자, 극한값의 구하는 문제들을 살펴봤습니다. 

여러분이 이 표를 스스로 만들 수 있다면, 혹은 이 표를 빈칸으로 만들어 놓고 채울 수 있다면 여러분은 극한의 성질에 대해서 상당히 잘 파악하고 있는 셈입니다. 

 

 

 

 

표를 보면 극한값을 알 수 없는 경우는 딱 두 가지 경우입니다. 

무한대에서 무한대를 빼는 경우, 그리고 무한대를 무한대로 나누는 경우죠. 

실은 이런 경우는 아주 드물지만, 여러분도 잘 아시다시피 우리를 괴롭히는 문제들은 주로 여기서 출제가 되겠죠? 

 

이 두 가지 경우를 푸는 방법은 뭘까요? 

다음 시간에는 어떻게 이런 모양으로 바꿀 수 있을지를 알아보겠습니다. 수고하셨습니다. 

 

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