등비급수의 극한

 

 

안녕하세요. 한장수학 오늘은 등비급수의 극한에 대해서 알아보겠습니다. 

 

 

 

 

등비수열의 합, 정확히 얘기해 n항 까지의 부분합은 이걸 말하는 거죠. 

첫째항 a와 공비r로 나타내면 이렇습니다. 

 

 

 

 

등비급수란 이를 무한대까지 더하는 것이죠. 

이렇게도 쓸 수 있다고 했죠. 

 

 

 

 

이걸 어떻게 구할까요? 

그런데 다행히 우리는 등비수열의 합이 어떻게 되는지 알고 있습니다. 

r이 1이 아니라면 이렇게 되죠? 

 

 

 

 

여기서 n을 무한대로 보내 극한값을 구하면 되는 거죠. 

이 값은 r의 절대값이 1보다 크냐 작으냐에 따라 달라집니다. 

 

 

 

 

r이 -1보다 크고 1보다 작으면 n이 무한대로 가면서 이 부분은 0이 되고 

이 식은 이렇게 간단한 식이 됩니다. 

 

 

 

 

반대로 r의 절대값이 1보다 크면 이 식은 발산을 하게 되는 거죠. 

사실 이건 충분히 예상을 한 겁니다. 

 

 

 

 

급수의 극한에서 An이 0에 수렴하지 않으면 Sn은 발산한다고 했으니까요. 

공비 r의 절대값이 1보다 크다는 건 벌써 그 수열이 발산을 한다는 거죠. 

 

다시 정리하면 등비수열의 등비가 -1보다 크고 1보다 작으면 등비급수는 a/(1-r)에 수렴을 한다는 겁니다. 

오늘은 꽤 간단한데요. 

 

이를 이용한 예제를 몇 가지 풀어보고 마치도록 하겠습니다.